Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線l：y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C在x軸的正半軸上，且OC＝2OB．

（1）點F是直線BC上一動點，點M是直線AB上一動點，點H為x軸上一動點，點N為x軸上另一動點（不與H點重合），連接OF、FH、FM、FN和MN，當OF+FH取最小值時，求△FMN周長的最小值；

（2）如圖2，將△AOB繞著點B逆時針旋轉90°得到△A′O′B，其中點A對應點為A′，點O對應點為O'，連接CO'，將△BCO'沿著直線BC平移，記平移過程中△BCO'為△B'C'O″，其中點B對應點為B'，點C對應點為C'，點O′對應點為O″，直線C'O″與x軸交于點P，在平移過程中，是否存在點P，使得△O″PC為等腰三角形？若存在請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）滿足條件的點P為：（8+2，0）或（，0）或（5，0）

【解析】

（1）先求出點A，點B坐標，用待定系數法求出直線BC的解析式，作點O關于直線BC的對稱點O'（），過點O'作O'H⊥OC于點F，交BC于點H，此時OF+FH的值最小，求出點F坐標，作點F關于直線AB與直線OC的對稱點，連接F'F'交直線AB于點M，交直線OC于點N，此時△FMN周長有最小值，由兩點距離公式可求△FMN周長的最小值；

（2）分O'C＝PC，O'P＝PC，O'P＝O'C三種情況討論，由等腰三角形的性質可求解．

解：（1）∵直線y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴當x＝0時，y＝2，

當y＝0時，x＝﹣2，

∴點A（﹣2，0），點B（0，2）

∴OB＝2

∵OC＝2OB．

∴OC＝4

∴點C（4，0）

設直線BC解析式為：y＝kx+2，且過點C（4，0）

∴0＝4k+2

∴k＝

∴直線BC解析式為：y＝x+2，

如圖，作點O關于直線BC的對稱點O'（），過點O'作O'H⊥OC于點F，交BC于點H，此時OF+FH的值最�。�

∴點F的橫坐標為

∴點F（）

作點F關于直線OC的對稱點F'（），

作點F關于直線AB的對稱點F'（）

連接F'F'交直線AB于點M，交直線OC于點N，此時△FMN周長有最小值，

∴△FMN周長的最小值＝

（2）∵將△AOB繞著點B逆時針旋轉90°得到△A'O’B，

∴O'點坐標（2，2）

設直線O'C的解析式為：y＝mx+b

∴

∴

∴直線O'C的解析式為：y＝﹣x+4

如圖，過點O'作O'E⊥OC

∴OE＝2，O'E＝2

∴EC＝O'E＝2

∴∠O'CE＝45°

∵將△BCO'沿著直線BC平移，

∴O'O'∥BC，O'C∥O'C'，

∴設O'O'的解析式為y＝x+n，且過（2，2）

∴2＝×2+n

∴n＝3

∴直線O'O'的解析式為y＝x+3

若CO'＝CP，

∵O'C∥O'C'，

∴∠O'CE＝∠O'PC＝45°

∵CO'＝CP

∴∠CO'P＝∠O'PC＝45°

∴∠O'CP＝90°

∴點O'的橫坐標為4，

∴當x＝4時，y＝×4+3＝1

∴點O'（4，1）

∴CO'＝1＝CP

∴點P（5，0）

若CO'＝O'P，如圖，過點O'作O'N⊥CP于N，

∵O'C∥O'C'，

∴∠O'CE＝∠O'PC＝45°

∵CO'＝O'P

∴∠O'CP＝∠CPO'＝45°，

∴∠CO'P＝90°，且CO'＝O'P，O'N⊥CP

∴CN＝PN＝O'N＝CP

設CP＝a，

∴CN＝PN＝O'N＝CP＝a

∴點O'（4+a，a），且直線O'O'的解析式為y＝﹣x+3

∴a＝﹣（4+a）+3

∴a＝

∴CP＝

∴點P（，0）

若CP＝O'P，如圖，過點O'作O'N⊥CP于N

∵O'C∥O'C'，

∴∠O'CE＝∠O'PM＝45°

∴∠O'PN＝∠O'PM＝45°，且O'N⊥CP

∴∠NPO'＝∠PO'N＝45°

∴PN＝O'N

∴O'P＝PN＝CP

設PN＝b，則O'N＝b，CP＝PO'＝b

∴點O'坐標（4+b+b，﹣b），且直線O'O'的解析式為y＝x+3

∴﹣b＝×（4+b+b）+3

∴b＝2+2

∴CP＝4+2

∴點P坐標（8+2，0）

綜上所述：滿足條件的點P為：（8+2，0）或（，0）或（5，0）