Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣x+4分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線過y＝ax2+bx+c經過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．

（1）若拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N．

①求點M、N的坐標；

②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

（2）當點P的橫坐標為2時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)① M（1，），N（1，3）； ②見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）①把二次函數表達式化為頂點式表達式，即可求解；

②不存在．理由如下：設點P 的坐標為（m，-m+4），則D（m，-m2+m+4），PD=-m2+m+4-（-m+4）=-m2+2m，當四邊形MNPD為平行四邊形，則：m2+2m=，解得：m=1，則：點P（3，1），由N（1，3），則：PN=≠MN，即可求解；

（2）分∠BDP=90°或∠PBD=90°兩種情況，求解即可．

解：（1）①y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，

∴頂點M的坐標為（1，），

當x＝1時，y＝﹣1+4＝3，

∴點N的坐標為（1，3）；

②不存在．理由如下：

MN＝﹣3＝，

設點P 的坐標為（m，﹣m+4），則D（m，﹣m2+m+4），

PD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，

∵PD∥MN．

∴當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，

即﹣m2+2m＝，解得：m＝1或3（m＝1舍去），

∴點P（3，1），由N（1，3），

∴PN＝≠MN，

∴平行四邊形MNPD不是菱形，

即：不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；

（2）①當∠BDP＝90°時，點P（2，2），則四邊形BOCD為矩形，

∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），

∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+4；

②當∠PBD＝90°時，△PBD為等腰直角三角形，

則PD＝2xP＝4，

∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），

把A、B、D坐標代入二次函數表達式得：，解得：，

故：二次函數表達式為：y＝﹣x2+3x+4．