Question

【題目】在正方形中，點是對角線上的動點（與點不重合），連接．

（1）將射線繞點順時針旋轉45°，交直線于點．

①依題意補全圖1；

②小研通過觀察、實驗，發現線段，，存在以下數量關系：

與的平方和等于的平方．小研把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成證明該猜想的幾種想法：

想法1：將線段繞點逆時針旋轉90°，得到線段，要證的關系，只需證的關系．

想法2：將沿翻折，得到，要證的關系，只需證的關系．

…

請你參考上面的想法，用等式表示線段的數量關系并證明；（一種方法即可）

（2）如圖2，若將直線繞點順時針旋轉135°，交直線于點．小研完成作圖后，發現直線上存在三條線段（不添加輔助線）滿足：其中兩條線段的平方和等于第三條線段的平方，請直接用等式表示這三條線段的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）①補全圖形，如圖1所示，見解析；②；理由見解析；（2）；理由見解析.

【解析】

（1）①根據題意補全圖形即可；

②過作，使，連接，由正方形的性質得出，，，由證明，得出，證出，由證明，得出，證出，在中，由勾股定理即可得出結論；

（2）過作，使，連接，由證得：，得出，再由證得：，得出，，證出，得出，在中，由勾股定理即可得出結論．

解：（1）①補全圖形，如圖1所示：

②；理由如下：

過作，使，連接，如圖2所示：

∵四邊形是正方形，

∴，

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴；

（2）；理由如下：

過作，使，連接，

∵直線繞點順時針旋轉135°，交直線于點，

∴，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴．