Question

【題目】新定義：在平面直角坐標系中，對于任意點，和直線，我們稱直線為點的伴隨直線，反之稱點為直線的伴隨點；特別的，直線（為常數）的伴隨點為．

如圖1，已知三個頂點的坐標分別為．

（1）點的伴隨直線的解析式為__________．（請直接寫出答案）

（2）若直線的伴隨點是點，直線的伴隨點是點，點為軸上的動點，當的周長最小時，求點的坐標．

（3）點是折線段的動點（包括端點），若直線是點的伴隨直線，當直線與有且僅有兩個公共點時，請直接寫出點的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(，)；（3）或

【解析】

(1)直接根據伴隨點和伴隨直線的定義可得結論；

(2)利用待定系數法求得直線AB、BC的解析式，根據伴隨點和伴隨直線的定義可得D、E的坐標，再得到點D關于x軸的對稱點的坐標，利用待定系數法求得直線的解析式，即可求解；

(3)點P分別在線段AB→BC上討論，根據直線與△ABC恰有兩個公共點時，可得的取值范圍．

(1)點A(，)的伴隨直線的解析式為：；

(2)設直線AB的解析式為，

把A(，)，B(，)的坐標代入得：

，解得：，

∴直線AB的解析式為，伴隨點D的坐標是(，)，

設直線BC的解析式為，

把B(，)，C(，)的坐標代入得：

，解得：，

∴直線BC的解析式為，伴隨點E的坐標是(，)，

作點D(，)關于軸的對稱點，連接交軸于點F，此時DF+EF的值最小，由于DE是定值，所以的周長最小，如圖：

∴點的坐標為(，)，

設直線的解析式為，

把E (，)，(，)的坐標代入得：

，解得：，

∴直線的解析式為，

令，則，

∴點F的坐標是(，)；

(3)①當P在線段AB上時，如圖，

∵直線AB的解析式為，
∴設P(，)()，則伴隨直線的解析式為：，
把B(1，5)代入得：，解得：，

當時，伴隨直線的解析式為：，

當時，伴隨直線的解析式為：，

∴當，直線與△ABC恰有兩個公共點；

②當P在線段BC上時，如圖，

∵直線BC的解析式為，
∴設P(，)(，則伴隨直線的解析式為：，
把B(1，5)代入得：，解得：，
當時，伴隨直線的解析式為：，

當時，伴隨直線的解析式為：，

∴當，直線與△ABC恰有兩個公共點；

∴；

綜上，或．