Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），頂點為．直線交軸于點，交拋物線于點．

求拋物線的表達式及點的坐標；

點是拋物線上的動點，若以，，，為頂點的四邊形僅有一組對邊平行，求點的坐標；

連接，點在直線上，設點到直線的距離為，點到點的距離為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為；（2）點坐標為，，；（3）12.

【解析】

（1）設拋物線頂點式解析式y＝ax2＋1，然后把點P的坐標代入進行計算即可得解；求出拋物線與x軸的交點A、B，然后利用待定系數法求一次函數解析式求出直線DB的解析式，令x＝0求出y的值即可得到點D的坐標；

（2）根據四邊形僅有一組對邊平行，分①AP∥BE，求出直線AP的解析式，再根據平行直線的解析式的k值相等求出直線BE的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點E的坐標；②AB∥PE，根據拋物線的對稱性可得點E與點P關于y軸對稱；③BP∥AE，根據平行直線的解析式的k值相等求出AE的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點E的坐標；

（3）過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，根據點A、B、P的坐標可以求出∠APM＝60°，∠BPM＝30°，∠APN＝30°，然后求出PA是∠BPN的平分線，過點F作FH⊥PN于點H，連接DF、DH，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得FH＝m，根據三角形的三邊關系可得當點D、F、H三點共線時，m＋n的值最小，此時，點F為直線AP與y軸的交點，m＋n＝PN，然后求解即可．

∵拋物線頂點為，

∴設拋物線的解析式是，

又∵點在拋物線上，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為；

令，則，

解得，，

∴點，點，

設直線的解析式為，

則，

解得，

∴直線的解析式為，

令，則，

所以，點的坐標為；

①時，設直線的解析式為，

則，

解得，

所以，直線的解析式為，

設直線的解析式為，

則，

解得，

所以，直線的解析式為，

解得，（為點的坐標），

所以點的坐標為；

②時，∵拋物線關于軸對稱，

∴點為點關于軸的對稱點，

∴點；

③時，∵直線的解析式為，

∴設直線的解析式為，

則，

解得，

∴直線的解析式為，

解，得，（為點坐標），

所以，點坐標為，

綜上所述，點坐標為，，；

如圖，過點作軸于點，軸于點，

∵，，，

∴，

，

∴，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

點在直線上，過點作于點，根據角平分線的性質可得，

連接、，根據三角形的三邊關系，，

即，

所以，當點、、三點共線時，的最小值，

此時，點為直線與軸的交點，點、重合，

最小值．