Question

【題目】如圖，在正方形中，，點是邊上的動點（含端點，），連結，以所在直線為對稱軸作點的對稱點，連結，，，，點，，分別是線段，，的中點，連結，．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若四邊形的面積為，求的長；

（3）以其中兩邊為鄰邊構造平行四邊形，當所構造的平行四邊形恰好是菱形時，這時該菱形的面積是________．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或或．

【解析】

（1）先利用三角形中位線定理得到，故，可得四邊形為平行四邊形，再根據對稱性得到，即可得到，即鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故可求解；

（2）過點作于點，過點作于點，于點，根據菱形的面積可求出，再根據中位線及正方形的性質分別求出PN,PQ,CN,AQ,設，在中，得到方程求出x即可求解；

（3）過點作的垂線，分別交，于點，，分當時、當時、當時分別求出菱形的面積即可．

解：（1）∵，，分別為，，的中點，

∴，

∴．

∴四邊形為平行四邊形．

∵與關于對稱，

∴，

∴，

∴四邊形為菱形．

（2）過點作于點，過點作于點，于點，如圖．

四邊形，

∴．

∵為的中點，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴．

∴，

∴．

設，

∴．在中，，即，

解得，

∴．

（3）菱形的面積為或或．理由如下：

如圖，過點作的垂線，分別交，于點，．

當時，點在點處，

此時菱形；

當時，此時是正三角形，

∴，PK=BP=5cm，

菱形；

當時，此時是正三角形，

∴

則CL=CP=5cm，

∴，，

菱形．

綜上所述，菱形的面積為或或．