Question

【題目】如圖，已知O是Rt△ABC的外接圓，點D是O上的一個動點，且C，D位于AB的兩側，聯結AD，BD，過點C作CE⊥BD，垂足為E。延長CE交O于點F，CA，FD的延長線交于點P。

求證：（1）弧AF=弧DC;

（2）△PAD是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

(1)連接BF，根據在同圓中，同弧所對的圓周角相等，可得∠CAB=∠CFB；再根據直徑所對的圓周角為直角，逐步得到∠FBA=∠DBC，進而完成證明；

(2)由圓內接四邊形的對角互補，可得∠CAD+∠CFD=180°，∠ADF+∠ACF=180°，進而確定∠CFD=∠PAD，∠ACF=∠PDA，再結合弧AF=弧DC，逐步確定PA=PD，即可完成證明.

（1）證明：

在同圓中，同弧所對的圓周角相等，

∠CAB=∠CFB

AB是直徑，∠CAB+∠ABC=90°

又CFBD，∠DBF+∠CFB=90°

∠ABC=∠DBF

∠ABC+∠DBA=∠DBF+∠DBA

∠FBA=∠DBC

∠FBA=∠DBC

（2）證明：

圓內接四邊形的對角互補，

在四邊形ACFD中，∠CAD+∠CFD=180°，∠ADF+∠ACF=180°

又∠PAD+∠CAD=180°，∠PDA+∠ADF=180°

∠CFD=∠PAD，∠ACF=∠PDA.

弧AF=弧DC

∠ACF=∠DFC.

∠PDA=∠PAD

PA=PD

△PAD是等腰三角形.