Question

【題目】如圖所示，點D是等腰Rt△ABC的斜邊BC上一動點，連接AD，作等腰Rt△ADE，使AD＝AE，且∠DAE＝90°連接BE、CE．

（1）判斷BD與CE的數量關系與位置關系，并進行證明；

（2）當四邊形ADCE的周長最小值是6時，求BC的值．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE；理由見解析；（2）BC＝3．

【解析】

（1）利用SAS證出△ABD≌△ACE，然后根據全等三角形的性質和等腰直角三角形的性質即可求出結論；

（2）根據周長公式即可求出，四邊形ADCE的周長=2AD+BC，其中BC為定值，四邊形ADCE的周長最小，即AD最小，當AD⊥BC時，根據垂線段最短，此時AD最小，則四邊形ADCE的周長最小，根據三線合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得AD=BC，從而求出BC．

解：（1）BD＝CE，BD⊥CE；

理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD與△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠BCE＝90°，

∴BD⊥CE；

（2）∵四邊形ADCE的周長=AD+AE+CE+CD=2AD+BD+CD=2AD+BC，其中BC為定值，

∴四邊形ADCE的周長最小，即AD最小，

當AD⊥BC時，根據垂線段最短，此時AD最小，則四邊形ADCE的周長最小，

∵△ABC為等腰三角形，AD⊥BC

∴AD=BC

∴此時四邊形ADCE的周長= 2AD+BC=2×BC+BC=6

解得：BC＝3．