Question

【題目】如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點

（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，若AM=3，MN=4,則BN的長為__________；

（2）已知點C是線段AB上的一定點，其位置如圖2所示，請在BC上畫一點D，使C，D是線段AB的勾股分割點（要求尺規作圖，不寫畫法，保留作圖痕跡，畫出一種情形即可）

Answer 1

【答案】或5

【解析】分析：（1）①當MN為最大線段時，由勾股定理求出BN；②當BN為最大線段時，由勾股定理求出BN即可；

（2）①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA；③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D.

詳解：（1）①當MN為最大線段時，

∵點M，N是線段AB的勾股分割點，

∴BM=，

②當BN為最大線段時，

∵點M，N是線段AB的勾股分割點，

∴BN=，

綜上，BN=或5；

（2）作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA；

③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；

點D即為所求；如圖所示．