Question

（2012•寧夏）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點E．
（1）連接AE，當△APE與△ADE全等時，求BP的長；
（2）若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數關系式．當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，試求出此時BP的長．

Answer 1

分析：（1）根據全等三角形的對應邊相等知AP=AD=3；然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以求得BP的長度；
（2）根據相似三角形Rt△ABP∽Rt△PCE的對應邊成比例列出關于x、y的方程，通過二次函數的最值的求法來求y的最大值；
（3）如圖，連接BD．利用（2）中的函數關系式設BP=x，則CE=-

1

2

x2+

3

2

x，然后根據相似三角形△CPE∽△CBD的對應邊成比例列出關于x的一元二次方程，通過解該方程即可求得此時BP的長度．

解答：解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知），
∴AP=AD=3（全等三角形的對應邊相等）；
在Rt△ABP中，BP=

AP2-AB2

=

32-22

=

5

（勾股定理）；

（2）∵AP⊥PE（已知），
∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴

AB

PC

=

BP

CE

即

2

3-x

=

x

y

（相似三角形的對應邊成比例），
∴y=-

1

2

x2+

3

2

x=-

1

2

(x-

3

2

)2+

9

8

∴當x=

3

2

時，y有最大值，最大值是

9

8

；

（3）如圖，連接BD．設BP=x，CE=-

1

2

x2+

3

2

x
∵PE∥BD，
∴△CPE∽△CBD，
∴

CP

CB

=

CE

CD

（相似三角形的對應邊成比例），
即

3-x

3

=

- 1 2 x2+ 3 2 x

2

化簡得，3x²-13x+12=0
解得，x₁=

4

3

，x₂=3（不合題意，舍去），
∴BP=

4

3

．

點評：本題綜合考查了矩形的性質、勾股定理、二次函數的最值等知識點．本題中求二次函數的最值時，采用了配方法．