Question

【題目】如圖拋物線經過點，tan∠CAB=3，且．

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；

（2）點為拋物線上一點，連接，直線把四邊形的面積分為兩部分，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；對稱軸為：x=1；（2）點P的坐標為（4，-5）或（8，-45）．

【解析】

（1）OB=OC，則點B（3，0），則拋物線的表達式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，C點坐標代入可求出a的值，得到拋物線方程，再進行配方即可求出對稱軸方程；
（2）根據S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE求出點E坐標，進而可求出直線PC的解析式，再與拋物線方程聯立方程組，求解方程組即可求得點P坐標．

（1）∵

∴OA=1，

∵tan∠CAB= 3

∴OC=3

∵OB=OC，

∴點B（3，0），C（0，3）
則拋物線的表達式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故拋物線的表達式為：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
函數的對稱軸為：x=1；

(2)如圖，設直線CP交x軸于點E，

直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，
又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，
則BE：AE=3：5或5：3，

∵AB=|-1-3|=4

∴AE=或，
即：點E的坐標為（，0）或（，0），
設直線PC的解析式為：y=kx+b,

將點E（，0）、C（0，3）的坐標代入一次函數表達式得，

，解得；

此時直線CP的表達式為：y=-2x+3；

將點E（，0）、C（0，3）的坐標代入一次函數表達式得，

，解得；

故直線CP的表達式為： y=-6x+3…②
聯立①或

解①得：或 （不符合題意，舍去））

解②得：或 （不符合題意，舍去））

所以，點P的坐標為（4，-5）或（8，-45）．