Question

【題目】已知四邊形ABCD和AEFG都是正方形，

（1）如圖1，E、G分別在AB、AD上，連CF，H為CF的中點，EH與DH的位置關系是　 ，數量關系是　 ．

（2）如圖2，在圖1的基礎上，把正方形AEFG繞A點順時針旋轉α（α為銳角），（1）中結論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（3）如圖3，在（2）旋轉過程中，當點F落在BC上，且AE：AB＝　 時，有AB平分EF．

Answer 1

【答案】（1）DH⊥EH，DH＝EH；（2）結論：DH⊥EN，DH＝EH＝HN．理由見解析；（3）AE：AB＝：3．

【解析】

（1）如圖1中，延長EH到N，使得HN=EH．連接DN，CN．只要證明△ADE≌△CDN（SAS），推出DE=DN，∠ADE=∠CDN，∠EDN=∠ADC=90°再利用等腰直角三角形的性質即可解決問題；

（2）結論：DH⊥EN，DH=EH=HN．如圖2中，延長EH到N，使得HN=EH．連接DN，CN，DE，延長NC交AD于點M．想辦法證明△ADE≌△CDN（SAS）即可解決問題；

（3）如圖3中，作EN⊥AB于N設BF交AB于M．設BM=NM=a，想辦法求出AE，AB（用a表示），即可解決問題；

解：（1）如圖1中，延長EH到N，使得HN＝EH．連接DN，CN，DE．

∵FH＝HC，∠FHE＝∠CHN，EH＝HN，

∴△FHE≌△CHN（SAS），

∴EF＝CN，∠FEH＝∠CNH，

∴EF∥CN，

∵四邊形ABCD和AEFG都是正方形，

∴AD＝DC，∠DAE＝∠ADC＝∠AEF＝90°，AE＝EF＝CN，

∴EF⊥AB，∵AB∥CD，

∴EF⊥CD，∵EF∥CN，

∴CN⊥CD，

∴∠DCN＝∠DAE＝90°

∵AD＝CD，AE＝CN，

∴△ADE≌△CDN（SAS），

∴DE＝DN，∠ADE＝∠CDN，

∴∠EDN＝∠ADC＝90°，

∵EH＝HN，

∴DH⊥EN，DH＝EH＝HN，

故答案為：DH⊥EH，DH＝EH．

（2）結論：DH⊥EN，DH＝EH＝HN．

理由：如圖2中，延長EH到N，使得HN＝EH．連接DN，CN，DE，延長NC交AD于點M．

∵FH＝HC，∠FHE＝∠CHN，EH＝HN，

∴△FHE≌△CHN（SAS），

∴EF＝CN，∠FEH＝∠CNH，

∴EF∥CN，

∵四邊形ABCD和AEFG都是正方形，

∴AD＝DC，∠DAE＝∠ADC＝90°，AE＝EF＝CN，EF∥AG，

∵EF∥AG，EF∥NM，

∴AG∥NM，

∴∠GAD＝∠NMD，

∵∠EAD＝90°+∠DAG，∠DCN＝90°+∠DMC，

∴∠EAD＝∠DCN，

∵AD＝CD，AE＝CN，

∴△ADE≌△CDN（SAS），

∴DE＝DN，∠ADE＝∠CDN，

∴∠EDN＝∠ADC＝90°，

∵EH＝HN，

∴DH⊥EN，DH＝EH＝HN．

（3）如圖3中，作EN⊥AB于N設BF交AB于M．

∵∠ENM＝∠B＝90°，∠EMN＝∠BMF，EM＝MF，

∴△ENM≌FBM（AAS），

∴NM＝BM，設BM＝NM＝a，

∵AE＝2EM，

∴tan∠EAM＝＝

∵∠NEM+∠AEN＝90°，∠EAN+∠AEN＝90°，

∴∠EAN＝∠NEM，

∴tan∠EAN＝tan∠NEM＝，

∴EN＝2a，AN＝4a，

∴AB＝6a，AE＝＝，

∴AE：AB＝：6a＝：3．