Question

【題目】小明對教材“課題學習”中的“用一張正方形折出一個正八邊形”的問題進行了認真地探索．他先把正方形沿對角線對折，再把對折，使點落在上，記為點．然后沿的中垂線折疊，得到折痕，如圖1，類似地，折出其余三條折痕，得到八邊形，如圖2．

（1）求證：是等腰直角三角形．

（2）若，求的長．（用含的代數式表示）

（3）我們把八條邊長相等，八個內角都相等的八邊形叫做正八邊形，試說明八邊形是正八邊形，請把過程補充完整．

解：理由如下：

①

同理可得：

②

同理可得：

∴八邊形是正八邊形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）①答案見解析；②答案見解析

【解析】

（1）由折疊的性質可得出∠CQP=∠CPQ=45°，則結論得證；

（2）證明四邊形CQEP是正方形，則PQ=CE，可得出AC=a，由折疊的性質知AE=AB=a，得出CE=a-a，則答案可求出；

（3）由等腰直角三角形可得，通過解直角三角形可得，從而求解．

解：（1）由題意得：

為正方形的對角線，

是等腰直角三角形

（2）連接．有折疊可知：

是等腰直角三角形

，且

四邊形是正方形，

在正方形中，，由折疊可知：

∴

（3）①是等腰直角三角形；

同理可得：

②設，由題（2）可知：；

是等腰直角三角形

，同理可得：

同理可得：

∴八邊形是正八邊形