Question

【題目】已知拋物線G：y=x2-2mx與直線l：y=3x+b相交于A，B兩點（點A的橫坐標小于點B的橫坐標）

（1）求拋物線y=x2-2mx頂點的坐標（用含m的式子表示）；

（2）已知點C(-2，1)，若直線l經過拋物線G的頂點，求△ABC面積的最小值；

（3）若平移直線l,可以使A，B兩點都落在x軸的下方，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）m＞3或m＜-3

【解析】

（1）將拋物線解析式化為頂點式即可求解；

（2）根據直線過拋物線頂點，可以將頂點坐標代入解析式求出b，之后聯立方程求出A、B兩點的坐標；過C點做CD∥y軸交直線于D，可以發現C在D的上方，并且不論CD在A、B左側、中間還是右側，面積的求法是一致的，即可求出面積的代數式，求出其最值即可；

（3）由（2）知B在A上方9個單位，所以只需要保證yB＜0就可以了，求解不等式即可．

解：（1）∵y=x2-2mx=，

∴頂點為；

（2）∵直線過拋物線頂點，

∴，

即，

故一次函數解析式為，

聯立方程，

解得，

∵點A的橫坐標小于點B的橫坐標，

∴將x代入解析式可求得，

∵C(-2，1)，

∴過C點做CD∥y軸交直線于D，

則，

∵，

∴，

，

∴△ABC面積的最小值為；

（3）由（2）可知，

故使A，B兩點都落在x軸的下方只需滿足，

解得m＞3或m＜-3，

∴實數m的取值范圍為m＞3或m＜-3．