Question

【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O．有直角∠MPN，使直角頂點P與點O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉∠MPN，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結論中正確的是 ．
①EF= OE；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③BE+BF= OA；④在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE= ；⑤OGBD=AE2+CF2 ．

Answer 1

【答案】①②③⑤
【解析】解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴EF= OE；故正確；
②∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC= S正方形ABCD ，
∴S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正確；
③∴BE+BF=BF+CF=BC= OA；故正確；
④過點O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH= BC= ，
設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF= BEBF+ CFOH= x（1﹣x）+ （1﹣x）× =﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵a=﹣ ＜0，
∴當x= 時，S△BEF+S△COF最大；
即在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE= ；故錯誤；
⑤∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OGOB=OE2 ，
∵OB= BD，OE= EF，
∴OGBD=EF2 ，
∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2 ，
∴EF2=AE2+CF2 ，
∴OGBD=AE2+CF2 ． 故正確．
故答案為：①，②，③，⑤．

①由四邊形ABCD是正方形，直角∠MPN，易證得△BOE≌△COF（ASA），則可證得結論；②由①易證得S四邊形OEBF=S△BOC= S正方形ABCD ， 則可證得結論；③由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性質，證得BE+BF= OA；④首先設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，繼而表示出△BEF與△COF的面積之和，然后利用二次函數的最值問題，求得答案；⑤易證得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得OGOB=OE2 ， 再利用OB與BD的關系，OE與EF的關系，即可證得結論．此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質，旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理以及二次函數的最值問題．注意掌握轉化思想的應用是解此題的關鍵．