Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數）與x軸相交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C．

（1）當A（﹣1，0），C（0，﹣3）時，求拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）P（m，t）為拋物線上的一個動點．

①當點P關于原點的對稱點P′落在直線BC上時，求m的值；

②當點P關于原點的對稱點P′落在第一象限內，P′A2取得最小值時，求m的值及這個最小值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，頂點坐標為（1，﹣4）；（2）①m=；②P′A2取得最小值時，m的值是，這個最小值是．

【解析】

（1）根據A（﹣1，0），C（0，﹣3）在拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數）的圖象上，可以求得b、c的值；

（2）①根據題意可以得到點P′的坐標，再根據函數解析式可以求得點B的坐標，進而求得直線BC的解析式，再根據點P′落在直線BC上，從而可以求得m的值；

②根據題意可以表示出P′A2，從而可以求得當P′A2取得最小值時，m的值及這個最小值．

（1）∵拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數）與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于點C，A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴該拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣4）；

（2）①由P（m，t）在拋物線上可得：t=m2﹣2m﹣3．

∵點P和P′關于原點對稱，∴P′（﹣m，﹣t），當y=0時，0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，由已知可得：點B（3，0）．

∵點B（3，0），點C（0，﹣3），設直線BC對應的函數解析式為：y=kx+d，，解得：，∴直線BC的直線解析式為y=x﹣3．

∵點P′落在直線BC上，∴﹣t=﹣m﹣3，即t=m+3，∴m2﹣2m﹣3=m+3，解得：m=；

②由題意可知，點P′（﹣m，﹣t）在第一象限，∴﹣m＞0，﹣t＞0，∴m＜0，t＜0．

∵二次函數的最小值是﹣4，∴﹣4≤t＜0．

∵點P（m，t）在拋物線上，∴t=m2﹣2m﹣3，∴t+3=m2﹣2m，過點P′作P′H⊥x軸，H為垂足，有H（﹣m，0）．

又∵A（﹣1，0），則P′H2=t2，AH2=（﹣m+1）2．在Rt△P′AH中，P′A2=AH2+P′H2，∴P′A2=（﹣m+1）2+t2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+，∴當t=﹣時，P′A2有最小值，此時P′A2=，∴=m2﹣2m﹣3，解得：m=．

∵m＜0，∴m=，即P′A2取得最小值時，m的值是，這個最小值是．