Question

【題目】如圖，拋物線與x軸分別相交于點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點C，頂點為點P．

（1）求拋物線的解析式；

（2）動點M、N從點O同時出發，都以每秒1個單位長度的速度分別在線段OB、OC上向點B、C方向運動，過點M作x軸的垂線交BC于點F，交拋物線于點H．

①當四邊形OMHN為矩形時，求點H的坐標；

②是否存在這樣的點F，使△PFB為直角三角形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①H（，）；②存在，F的坐標為（，）或（，）．

【解析】

（1）把A和B的坐標代入拋物線解析式，即可求出b、c的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）①表示出ON、MH，運用ON=MH，列方程求解即可；

②存在，先求出BC的解析式，根據互相垂直的直線一次項系數積等于﹣1，直線經過點P，用待定系數法求出直線PF的解析式，然后求直線BC與直線PF的交點坐標即可．

解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入拋物線得：，解得：b=1，c=4，∴；

（2）點C的坐標為（0，4），B（4，0），∴直線BC的解析式為，

①根據題意，ON=OM=t，MH=，∵ON∥MH，∴當ON=MH時，四邊形OMHN為矩形，即，解得：或（不合題意舍去），把代入得：，∴H（，）；

②存在，當PF⊥BC時，∵直線BC的解析式為，

∴設PF的解析式為，又點P（1，）代入求得，

∴PF的解析式為，

∴根據題意列方程組：，解得：，

∴F（，）；

當PF⊥BP時，∵點P（1，），B（4，0），

∴直線BP的解析式為：，

∴設PF的解析式為，又點P（1，）代入求得，

∴PF的解析式為，

∴根據題意列方程組：，解得：，∴F（，），

綜上所述：△PFB為直角三角形時，點F的坐標為（，）或（，）．