Question

【題目】在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發現地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下空隙，又不互相重疊(在幾何里叫作平面鑲嵌)．這顯然與正多邊形的內角大小有關．當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角(360°)時，就拼成了一個平面圖形．

（1）請根據下列圖形，填寫表中空格．

（2）如圖所示，如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形．

（3）不能用正五邊形形狀的材料鋪滿地面的理由是什么？

（4）從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）60°，90°，108°，120° ，；（2）正三角形、正四邊形(或正方形)、正六邊形；（3）理由見解析；（4）選正方形和正八邊形，圖見解析，符合條件的圖形只有一種，理由見解析．

【解析】

（1）根據正多邊形的性質、多邊形的內角和即可得；

（2）根據正多邊形的幾個內角加在一起能否等于即可得；

（3）根據題（2）的求解過程可知，當時，不為整數，即可說明問題；

（4）選正方形和正八邊形；然后根據“幾個正多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角”列出方程，根據其整數解的個數即可得出答案．

（1）當正多邊形的邊數為3時，正三角形每個內角的度數為

當正多邊形的邊數為4時，正四邊形每個內角的度數為

當正多邊形的邊數為5時，正五邊形每個內角的度數為

當正多邊形的邊數為6時，正六邊形每個內角的度數為

當正多邊形的邊數為n時，正n邊形每個內角的度數為

故答案為：；；；；；

（2）設這個正多邊形的邊數為n

由題意、（1）的結論得，當為正整數時，求出的n值即符合題意

要使為正整數，則4為的倍數

因此，或2或4，即或4或6

故如果限于用一種正多邊形鑲嵌，正三角形、正四邊形（或正方形）、正六邊形都能鑲嵌成一個平面圖形；

（3）由（2）知，當時，不為整數

故不能用正五邊形形狀的材料鋪滿地面；

（4）選正方形和正八邊形，畫圖結果如下所示：

設在一個頂點周圍有個正方形的角，個正八邊形的角

則，應是方程的正整數解

即的正整數解

解得只有一組

故符合條件的圖形只有一種．