Question

如圖，矩形ABCD的4個頂點都在圓O上，將矩形ABCD繞點0按順時針方向旋轉α度，其中0°＜α≤90°，旋轉后的矩形落在弓形AD內的部分可能是三角形（如圖1）、直角梯形（如圖2）、矩形（如圖3）．已知AB=6，AD=8．

（1）如圖3，當α=______度時，旋轉后的矩形落在弓形內的部分呈矩形，此時該矩形的周長是______；
（2）如圖2，當旋轉后的矩形落在弓形內的部分是直角梯形時，設A₂D₂、B₂C₂分別與AD相交于點為E、F，求證：A₂F=DF，AE=B₂E；
（3）在旋轉過程中，設旋轉后的矩形落在弓形AD內的部分為三角形、直角梯形、矩形時所對應的周長分別是c_l、c₂、c₃，圓O的半徑為R，當c₁+c₂+c₃=5R時，求c₁的值；
（4）如圖1，設旋轉后A₁B₁、A₁D₁與AD分別相交于點M、N，當旋轉到△A₁MN正好是等腰三角形時，判斷圓O的直徑與△A₁MN周長的大小關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）當α=90°時，旋轉后的矩形落在弓形內的部分呈矩形，
此時該矩形的周長是6×2+（8-6）=14．

（2）①如圖，連接A₂D，
∵=，
∴∠ADA₂=∠DA₂D₂；
∴A₂F=DF．
②如圖，連接AB₂∵AD=B₂C₂，
∴=；
∴-=-；
∴=；
∴∠AB₂C₂=∠DAB₂；
∴AE=B₂E．

（3）由（1）（2）得C₂=8，C₃=8
∵AB=6，AD=8，∠A=90°，
∴R=5，
當C₁+C₂+C₃=5R時，C₁=9；

（4）如圖，設A₁B₁交AB于P，A₁M=a，AM=b，
∵△AMN正好是等腰三角形，∠A₁=90°，
∴∠A₁NM=∠A₁MN=∠AMP=45°；
∴MN==a，
∴AD=AM+MN+ND=b+a+a=8…（一）；
同（1）①可證AP=B₁P；
∴A₁B₁=A₁M+MP+PB₁=a+b+b=6…（二）；
（二）-（一）得：a-b=2；
∴a-b=，即A₁M-AM=；
∴△A₁MN的周長=AD+=8+；
而⊙O的直徑為10，
∴⊙O的直徑與△A₁MN的周長差為10-（8+）=2-＞0；
∴⊙O的直徑大于△A₁MN的周長．
分析：（1）根據矩形的性質可以得到旋轉角應是90°，根據矩形的長和寬即可計算得到的矩形的周長；
（2）根據旋轉得到對應點之間的弧相等，再根據等弧所對的圓周角相等和等角對等邊進行證明；
（3）根據矩形的外接圓的圓心即是其對角線的交點，得到矩形的外接圓的半徑等于其對角線的一半5，再根據（1）和（2）的思路，可以求得它們的周長分別是8，再進一步求得C₁的長；
（4）根據矩形的角都是直角，則該三角形應是等腰直角三角形．根據等腰直角三角形的性質和矩形的長和寬列方程求得三角形的周長，再進一步運用求差法比較其大小．
點評：此題綜合運用了旋轉的性質和等腰三角形的判定和性質．綜合性強，難度較大．