Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點，對稱軸為直線，平行于軸的直線與拋物線交于、兩點，點在對稱軸左側，.

I.求此拋物線的解析式；

Ⅱ.已知在軸上存在一點，使得的周長最小，求點的坐標；

Ⅲ.若過點的直線將的面積分成2:3兩部分，試求直線的解析式.

Answer 1

【答案】Ⅰ.；Ⅱ.點的坐標為；Ⅲ.直線解析式為.

【解析】

I.由對稱軸直線x=2，以及A點坐標確定出b與c的值，即可求出拋物線解析式；

Ⅱ.由拋物線的對稱軸及BC的長，確定出B與C的橫坐標，代入拋物線解析式求出縱坐標，確定出B與C坐標，再求出點A關于x軸的對稱點，連接交x軸于點D，則點D即為所求，利用待定系數法求出的解析式，即可解決問題．

Ⅲ.利用待定系數法求出直線AB解析式，過Q作QH⊥y軸，與y軸交于點H，BC與y軸交于點M，由已知面積之比求出QH的長，確定出Q橫坐標，代入直線AB解析式求出縱坐標，確定出Q坐標，再利用待定系數法求出直線l的解析式．

解：I.由題意得：，，

解得.

∴此拋物線的解析式為.

Ⅱ.∵拋物線對稱軸為直線，，

∴橫坐標為，橫坐標為1.

把代入拋物線解析式得：，

∴，.

如圖，點關于軸的對稱點為點，

圖

設直線解析式為，

把坐標代入得：，即.

令，解得，即點的坐標為.

Ⅲ.如圖，設直線解析式為，

圖b

把坐標代入得，即.

設直線與交于點，過作軸，垂足為，設與軸交于點，

可得.

∴.

∵直線將面積分成2：3兩部分，

∴.

∴.

∵，

∴或.

當時，把代入直線解析式得，

此時，直線解析式為.

當時，把代入直線解析式得，

此時，直線解析式為.