Question

【題目】如圖三角形ABC是圓O的內接正三角形，弦EF經過BC邊的中點D，且EF平行AB，若AB等于6，則EF等于________.

Answer 1

【答案】

【解析】

設AC與EF交于點G，由于EF∥AB，且D是BC中點，易得DG是△ABC的中位線，即DG=3；易知△CDG是等腰三角形，可過C作AB的垂線，交EF于M，交AB于N；然后證DE=FG，根據相交弦定理得BDDC=DEDF，而BD、DC的長易知，DF=3+DE，由此可得到關于DE的方程，即可求得DE的長，EF=DF+DE=3+2DE，即可求得EF的長；

解：如圖，過C作CN⊥AB于N，交EF于M，則CM⊥EF，

根據圓和等邊三角形的性質知：CN必過點O，

∵EF∥AB，D是BC的中點，

∴DG是△ABC的中位線，

即DG=AB=3；

∵∠ACB=60°，BD=DC=BC，AG=GC=AC，且BC=AC，

∴△CGD是等邊三角形，

∵CM⊥DG，

∴DM=MG；

∵OM⊥EF，

由垂徑定理得：EM=MF，

故DE=GF，

∵弦BC、EF相交于點D，

∴BD×DC=DE×DF，

即DE×(DE+3)=3×3；

解得DE=或（舍去）；

∴EF=3+2×=；