Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與軸交于點，連接、．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）拋物線的對稱軸與x軸交于點D，連接，點E為第三象限拋物線上的一動點，，直線與拋物線交于點F，設直線的表達式為．

①如圖①，直線與拋物線對稱軸交于點G，若，求k、b的值；

②如圖②，直線與y軸交于點M，與直線交于點H，若，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①k=，b=，②.

【解析】

（1）把代入，求出a的值，即可；

（2）①由，DG=FG，由，∠GMD=∠OBC=30°，過點G作GN∥x軸，過點F作FN∥y軸，交于點N，交x軸于點H，則∠FGN=30°，設DG=FG=m，得：點F坐標是：（1+，），代入二次函數得解析式，可得：點F坐標是：（5，），由∠GMD=30°和待定系數法，分別可得k，b的值；

②由直線與y軸交于點M，與直線交于點H，，可得：，∠EMO=∠OCB=60°，∠HOB=60°，∠MOH=∠MHO=30°，MH=MO=b，作EG⊥y軸，FN⊥y軸，則，ME=EG，MF=FN，設點E，F的很坐標分別是： ，，由，得到關于b的方程，即可求解.

（1）把代入得：，解得：，

∴拋物線的函數表達式為：；

（2）① 由第（1）題，可知：A(-1，0)，B(3，0)，，

∴OB=3，OC=，BC==，

∴∠OBC=30°，

∵拋物線的對稱軸與x軸交于點D，

∴D坐標為（1，0），即OD=1，BD=2，

∴CD=，

∴BD=CD，

∵，

∴DG=FG，

∵，

∴∠GMD=∠OBC=30°，

過點G作GN∥x軸，過點F作FN∥y軸，交于點N，交x軸于點H，則∠FGN=30°，如圖①，

設DG=FG=m，則，，，

∴FH=FN+NH=，OH=OD+DH=1+，

∴點F坐標是：（1+，），

∴，解得：，（舍）

∴點F坐標是：（5，），

∵∠GMD=30°，可設直線的表達式為，

把（5，）代入，得：，解得：b=，

∴直線的表達式為：，即：k=，b=.

②∵直線與y軸交于點M，與直線交于點H，，

∴，∠EMO=∠OCB=60°，∠HOB=60°，∠MOH=∠MHO=30°，

∴MH=MO=b，

作EG⊥y軸，FN⊥y軸，則，ME=EG，MF=FN，

設點E，F的很坐標分別是： ，

聯立，得：，

化簡得：，

∴ +=3，=，

∵，

∴，即：，

化簡得：，

∴，解得：b=