Question

【題目】如圖，在中，，，正方形的邊長為2，將正方形繞點旋轉一周，連接、、．

（1）猜想：的值是__________，直線與直線相交所成的銳角度數是__________；

（2）探究：直線與垂直時，求線段的長；

（3）拓展：取的中點，連接，直接寫出線段長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）（3）．

【解析】

（1）證明△CBD∽△ABE，相似比為，△ABE可以看做△CBD繞點B逆時針旋轉45°后放大得到，故直線與直線相交所成的銳角度數是45°；

（2）證明，得到，分點在線段上和點在線段延長線上兩類討論，分別求出AE長，即可求出CD；

（3）延長EF到G使得FG=EF，連接AG，BG，則△BFG為等腰直角三角形，求出BG，證明MF=，根據三角形三邊關系求出AG取值范圍，問題得解．

解：（1）由題意得，△ABC, △EBD都是等腰直角三角形，

∴,

∴

∴△CBD∽△ABE

∴,△ABE可以看做△CBD繞點B逆時針旋轉45°后放大得到，故直線與直線相交所成的銳角度數是45°；

（2）∵是腰長為4的等腰直角三角形，四邊形的邊長為2的正方形，

∴，，，

∴，，∴．

∴，∴．

∵，∴當時，、、三點在一直線上時，

在中，∵，∴．

如圖2，當點在線段上時，，∴；

如圖3，當點在線段延長線上時，，∴．

綜上所述，當時，線段的長為或；

（3）延長EF到G使得FG=EF，連接AG，BG，

則△BFG為等腰直角三角形，

∴BG=BF=，

∵M為AE中點，F為EG中點，

∴MF為△EAG中位線，

∴MF=，

在△ABG中，∵AB-BG≤AG≤AB+BG，

∴≤AG≤，

∴≤MF≤ ．

本題為相似的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，正方形，等腰直角三角形的性質，三角形中位線定理，三角形三邊關系，解題關鍵是找到圖形中的旋轉相似，注意運用好分類討論的數學思想，問題3中要善于構造中位線解決問題．