Question

【題目】（1）（學習心得）

小剛同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．

例如：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一點，且AD=AC，求∠BDC的度數，若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC=　 　°．

（2）（問題解決）

如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度數．

小剛同學認為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：△ABD的外接圓就是以BD的中點為圓心，BD長為半徑的圓；△ACD的外接圓也是以BD的中點為圓心，BD長為半徑的圓．這樣A、B、C、D四點在同一個圓上，進而可以利用圓周角的性質求出∠BAC的度數，請運用小剛的思路解決這個問題．

（3）（問題拓展）

如圖3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC邊上的高，且BD=4，CD=2，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）∠BAC=25°，（3）AD=+3．

【解析】

試題

（1）如圖1，由已知易得點B，C，D在以點A為圓心，AD為半徑的圓上，則由“圓周角定理”可得∠BDC=∠BAC=23°；

（2）如圖2，由已知易得A、B、C、D在以BD的中點O為圓心，OB為半徑的圓上，由此可由“圓周角定理”可得∠BAC=∠BDC=28°；

（3）如圖3，由已知易得點A、C、D、F在以AC為直徑的同一個圓上，由此可得∠EFC=∠DAC；同理可得：∠DFC=∠CBE；由已知易得∠DAC=∠EBC，這樣即可得到∠EFC=∠DFC.

試題解析：

（1）如圖1，∵AB=AC=AD，

∴點B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，

∴∠BDC=∠BAC=23°；

(2)證明：取BD中點O，連接AO、CO，

∵在Rt△BAO中，∠BAD=90°，

∴AO=BD=BO=DO，

同理：CO=BD，

∴AO=DO=CO=BO，

∴點A、B、C、D在以O為圓心、OB為半徑的同一個圓上，

∴∠BAC=∠BDC=28°

(3)∵CF⊥AB，AD⊥BC，

∴∠AFC=∠ADC=90°，

∴點A、C、D、F在以AC為直徑的同一個圓上，

∴∠EFC=∠DAC，

同理可得：∠DFC=∠CBE，

∵在△ADC中，∠DAC+∠ACD=90°，在△BEC中，∠EBC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠EBC，

∴∠EFC=∠DFC.