Question

【題目】（問題提出）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少？

（閱讀理解）

為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．|a|的幾何意義是a這個數在數軸上對應的點到原點的距離．那么|a﹣1|可以看做a這個數在數軸上對應的點到1的距離；|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a這個數在數軸上對應的點到1和2兩個點的距離之和．下面我們結合數軸研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值．

我們先看a表示的點可能的3種情況，如圖所示：

（1）如圖①，a在1的左邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1．

（2）如圖②，a在1和2之間（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距離之和等于1．

（3）如圖③，a在2的右邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1．

（問題解決）

（1）|a﹣2|+|a﹣5|的幾何意義是　 　．請你結合數軸探究：|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是　 　．

（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的幾何意義是　 　．請你結合數軸探究：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是　 　，并在圖④的數軸上描出得到最小值時a所在的位置，由此可以得出a為　 　．

（3）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值．

（4）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值．

（拓展應用）

請在圖⑤的數軸上表示出a，使它到2，5的距離之和小于4，并直接寫出a的范圍．

Answer 1

【答案】（1）a這個數在數軸上對應的點到2和5兩個點的距離之和，3； （2）a這個數在數軸上對應的點到1、2和3三個點的距離之和；2；2；（3）6；（4）1019090．

【解析】

（1）根據絕對值的幾何意義結合數軸即可求解；

（2）由題意可得出，取中間值a＝2時，求得最小值；

（3）由題意可得出，取中間值a＝3時，求得最小值；

（4）由題意可得出，取中間值a＝1010時，求得最小值．

解：（1）|a﹣2|+|a﹣5|的幾何意義是a這個數在數軸上對應的點到2和5兩個點的距離之和；

當a在5和2之間時（包括在5，2上），

可以看出a到5和2的距離之和等于3，

此時|a﹣2|+|a﹣5|取得最小值是3；

故答案為：a這個數在數軸上對應的點到2和5兩個點的距離之和；3．

（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的幾何意義是a這個數在數軸上對應的點到1、2和3三個點的距離之和．

當a取中間數時，絕對值最小，|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是1+0+1＝2；

如圖所示：

故答案為：a這個數在數軸上對應的點到1、2和3三個點的距離之和；2；2．

（3）當a取中間數3時，絕對值最小，

|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值是：2+1+0+1+2＝6．

（4）當a取中間數1010時，絕對值最小，

|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|…+|a﹣2019|的最小值為：

1009+1008+1007+…+1+0+1+2+3+…+1009＝1009×（1009+1）＝1019090．