Question

【題目】已知等腰中，，點從點出發在線段移動，以為腰作等腰，，連接.

（1）如圖，求證：≌；

（2）求證：；

（3）若，試問：的面積有沒有最大值，如沒有請說明理由，如有請求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）最小時，最大，最大值為

【解析】

（1）由△ABC和△ADE都是等腰Rt△可得，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，則有∠BAD=∠CAE，從而可證到△ACE≌△ABD；

（2）由△ACE≌△ABD可得∠ACE=∠ABD=45°，從而得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°；由勾股定理得，，從而可得結論；

（3）由△ACE≌△ABD可得，當最小時，最大，從而可得結論.

（1）∵和都是等腰，

∴，，，

∴，

在和中，

，

∴≌；

（2）∵△ACE≌△ABD，

∴∠ACE=∠ABD=45°，

∵是等腰三角形，

∴∠ABD=45°，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴中，，

在中，，，

∴，

∴

（3）∵△ACE≌△ABD，

∴=，

而

所以，當最小時，最大，如圖，當AD’⊥BC時，最小，

∵AB=4，∴AD’=ABcos45°=2

∴=×AD’2=4

∴最大為8-4=.