Question

【題目】對于自變量為的函數，當時，其函數值也為，則稱點為此函數的不動點.若函數圖象上有兩個不動點、，.

（1）若，，，求函數的不動點坐標；

（2）求證；；

（3）若函數，，，當時，

①求證：；

②求證：.

Answer 1

【答案】（1），（2）證明見解析（3）①證明見解析③證明見解析

【解析】

（1）先求出函數解析式，再令y=x2+2x=x，解x即可；

（2）證明出函數的最小值，根據不動點定義即可證明；

（3）①②進行作差運算，得到二次函數，根據二次函數圖象的性質進行證明即可.

（1）∵，，.

∴.

令

∴，即，.

∴，

（2）證明：∵的頂點坐標是

∵

∴

∵是不動點

∴.∴

∴

（3）①證明：令

∵是開口向上，與軸有兩個交點的二次函數

∴當時，隨著增大而減小

∴當時

∴.即

②證明：令的對稱軸

∴

∵

∴

由（2）得

∴即

∴當時，

在時，隨著增大而增大

當時

∴

當時

∵當時，對應項相與當時對應項相等.

∴對應

最大值只能由當時，求當時取得

∴當時

隨著增大而增大

∴對應.

∴最大，則最大

∴