Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx+c經過點A（3﹣m，4），且過點B（3+m，4），A在B的左側，頂點為P．

（1）求b的值；

（2）當c＝4時，求sin∠APB；

（3）拋物線y＝x2+bx+c上是否存在點Q，使得四邊形OPQA是平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b＝﹣6；（2）；（3）存在點Q的坐標分別是（5，7）或（1，﹣17），使得四邊形OPQA是平行四邊形

【解析】

（1）求出拋物線的對稱軸方程為x＝3，則b的值可求出；

（2）過點B作BM⊥AP于點M，求出點P，A，B的坐標，求出AP長，根據三角形PAB的面積可求出BM長，則可求出sin∠APB；

（3）由題意得出點A的坐標為（3﹣m，4），點P的坐標為（3，4﹣m2），由平行四邊形的性質可得點Q的坐標為Q（3+3﹣m，4﹣m2+4），代入拋物線解析式可求出m的值，則點Q的坐標可求出．

解：（1）由拋物線的對稱性可知，對稱軸是直線x＝，

又∵對稱軸是直線x＝﹣，

∴b＝﹣6；

（2）當c＝4時，由（1）得到拋物線的表達式為y＝x2﹣6x+4＝（x﹣3）2﹣5，

∴點P的坐標為（3，﹣5）．

由x2﹣6x+4＝4得x1＝0，x2＝6，

∴點A，B的坐標分別為（0，4），（6，4），

如圖，AB與拋物線的對稱軸交于點N，過點B作BM⊥AP于點M，

∴PN＝5+4＝9，AB＝6，＝3，

∵＝，

∴＝＝，

∴sin∠APB＝＝；

（3）存在點Q，使得四邊形OPQA是平行四邊形．理由是：

由（1）得拋物線為y＝x2﹣6x+c，點A的坐標為（3﹣m，4），

求得c＝13﹣m2，

∴點P的坐標為（3，4﹣m2），

∴拋物線的表達式為y＝x2﹣6x+c＝x2﹣6x+13﹣m2，

將線段OA平移，使點O與點P重合，得到線段PQ，

此時四邊形OPQA是平行四邊形．

由平移的性質可得，點Q的坐標為Q（3+3﹣m，4﹣m2+4），

即Q（6﹣m，8﹣m2），

若點Q在拋物線上，

有8﹣m2＝（6﹣m）2﹣6（6﹣m）+13﹣m2．

解得m1＝1，m2＝5，

當m1＝1時，點Q（5，7），

當m2＝5時，點Q（1，﹣17）．

綜合以上可得，存在點Q的坐標分別是（5，7）或（1，﹣17），使得四邊形OPQA是平行四邊形．