Question

【題目】如圖，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC上一動點，連接AD，過點A作AE⊥AD，并且始終保持AE=AD，連接CE.

（1）求證：△ABD ≌△ACE ；

（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究線段BD，DF，FC之間的數量關系，并證明；

（3）在(2)的條件下，若BD=3，CF=4，求AD的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)BD2+FC2=DF2，理由見解析；（3）.

【解析】

（1）根據垂直的定義以及直角，得到∠BAD=∠CAE，然后SAS證明即可；

（2）根據等腰直角三角形的性質得到∠B=∠ACB=45°，然后由（1）的結論得到∠ACE=45°，BD=CE，從而得到∠FCE=90°，根據勾股定理得出，再根據SAS證明△DAF≌△EAF，根據全等三角形的性質得到DF=FE，從而得到結論；

（3）過點A作于G，根據（2）的結論得到DF=5，然后根據等腰直角三角形的性質求出DG，最后根據勾股定理求解即可.

(1)∵

∴

又∵

∴

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE；

（2）理由如下：

連接FE， ∵

∴

由(1)知△ABD≌△ACE

∴，

∴

∴

∴

∵AF平分

∴

在△DAF和△EAF中

∴△DAF≌△EAF

∴.

∴；

（3）過點A作于G

由(2)知

∴

∴

∵

∴

∴

∴在中.