Question

【題目】如圖，∠AOB=90°，點P為∠AOB內部一點，作射線OP，點M在射線OB上，且OM=，點M′與點M關于射線OP對稱，且直線MM′與射線OA交于點N．當△ONM'為等腰三角形時，ON的長為______．

Answer 1

【答案】3或1

【解析】

如圖分兩種情況，Ⅰ．M'在∠AOB內部，Ⅱ．M'在∠AOB外部，由已知和等腰三角形性質、利用三角函數列方程，解直角三角形即可解答．

解：M'位置有兩種情況，

Ⅰ．M'在∠AOB內部，如圖1，

∵點M′與點M關于射線OP對稱，△ONM'為等腰三角形，

∴M′N=OM′=OM=，MH=M′H，

∵∵∠AOB=90°，cos∠OMN=

∴，

解得MH=，

∴MN=2，

在Rt△MON中，ON===3

Ⅱ．M'在∠AOB外部，如圖2，過N點作QN⊥OM′，

∵△ONM'為等腰三角形，即M′N=ON，

∴M′Q=M′O，

∵OM=，點M′與點M關于射線OP對稱，

∴M′Q=，OM=OM′，

∴∠OM′M=∠OMM′，cos∠OM′M=，cos∠OMM′=，

設ON=M′N=x，NH=M′H=y，

，

解得：x=1，y=，

綜上所述：當△ONM'為等腰三角形時，ON的長為3或1．

故答案為3，1．