Question

【題目】如圖,在半⊙中,是直徑,點是⊙上一點,點是的中點,于點，過點的切線交的延長線于點,連接,分別交于點,連接,關于下列結論:①;②;③點是的外心;④,其中結論正確的是____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

逐一進行判斷，在半⊙中,是直徑,得出∠ACB=90°，OA=OC=OD=OB, ∠CAO=∠ACO，∠OCB=∠CBO，∠DOA=∠ADO，∠AOC=∠COD=∠BOD，再由垂徑定理判定OC⊥AD，又由對頂角相等，得出DQ∥AC，進而得出OD⊥BC，得出，①正確；又因為，即∠DAB+∠APE=90°∠APE和∠GPD是對頂角，得出∠GDA=∠GPD，進而得出，②結論正確；在RtAPE中，OC⊥AD，∠APE和∠CPQ是對頂角，可知∠PAE=∠OCE，∠PAC=∠ACP，進而得出AP=CP，又根據∠BCO+∠CQA=∠CBO+∠BCE=90°，∠BCO=∠CBO，得出∠CQA=∠BCE，得出PC=PQ，判定AP=PQ=CP，從而得出點是的外心，③結論正確；由∠BCE=∠CAB，∠PAC=∠ABC，判定Rt△ACQ和Rt△ABC相似，根據其性質，即可得出，④結論正確.

解：連接OC、OD，如圖所示，

∵在半⊙中,是直徑,點是⊙上一點,點是的中點,

∴∠ACB=90°，OA=OC=OD=OB,

∴∠CAO=∠ACO，∠OCB=∠CBO，∠DOA=∠ADO，∠AOC=∠COD=∠BOD

∵在半⊙中,AD和BC為弦，

∴OC⊥AD，

又∵∠CAQ+∠CQA=∠ADO+∠DQB，

∠CQA=∠DQB（對頂角相等）

∴∠CAD=∠ADO

∴DQ∥AC，

∴OD⊥BC

∴∠ABC=∠ADO=∠DAB，①結論正確；

又∵，即∠DAB+∠APE=90°

∠APE和∠GPD是對頂角

∴∠GDA=∠GPD

∴，②結論正確；

在RtAPE中，OC⊥AD，∠APE和∠CPQ是對頂角，

∴∠PAE=∠OCE

∴∠PAC=∠ACP

∴AP=CP

又∵∠BCO+∠CQA=∠CBO+∠BCE=90°

∠BCO=∠CBO

∴∠CQA=∠BCE

∴PC=PQ

∴AP=PQ=CP

∴點是的外心，③結論正確；

又∵∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAB=∠CAQ+∠CQA

∠PAC=∠ACP

∴∠BCE=∠CAB，∠PAC=∠ABC

∴Rt△ACQ∽Rt△ACB

∴

即，④結論正確.

故答案是①②③④.