Question

【題目】某商店購買60件A商品和30件B商品共用了1080元，購買50件A商品和20件B商品共用了880元．

（1）A、B兩種商品的單價分別是多少元？

（2）已知該商店購買A、B兩種商品共30件，要求購買B商品的數量不高于A商品數量的2倍，且該商店購買的A、B兩種商品的總費用不超過276元，那么該商店有幾種購買方案？

（3）若購買A種商品m件，實際購買時A種商品下降了a（a＞0）元，B種商品上漲了3a元，在（2）的條件下，此時購買這兩種商品所需的最少費用為1076元，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）A種商品的單價為16元、B種商品的單價為4元；（2）有4種購買方案，見解析；（3）m的值是13．

【解析】

（1）設A種商品的單價為x元、B種商品的單價為y元，根據等量關系：①購買60件A商品的錢數+30件B商品的錢數=1080元，②購買50件A商品的錢數+20件B商品的錢數=880元分別列出方程，聯立求解即可；
（2）設購買A商品的件數為m件，則購買B商品的件數為（30-m）件，根據不等關系：①購買B商品的數量不高于A商品數量的2倍，②購買的A、B兩種商品的總費用不超過276元可分別列出不等式，聯立求解可得出m的取值范圍，進而討論各方案即可；
（3）根據題目條件，構建購買這兩種商品所需最少費用為1076元的不等式，然后分情況討論，最后就可確定出m的值．

解：（1）設A種商品的單價為x元、B種商品的單價為y元，

，解得，

答：A種商品的單價為16元、B種商品的單價為4元；

（2）設購買A種商品的件數為m件，則購買B種商品的件數為（30﹣m）件，

，

解得：10≤m≤13，

∵m是整數，

∴m＝10、11、12或13，

故有如下四種方案：

方案（1）：m＝10，30﹣m＝20，即購買A商品的件數為10件，購買B商品的件數為20件；

方案（2）：m＝11，30﹣m＝19，即購買A商品的件數為11件，購買B商品的件數為19件；

方案（3）：m＝12，30﹣m＝18，即購買A商品的件數為12件，購買B商品的件數為18件；

方案（4）：m＝13，30﹣m＝17，即購買A商品的件數為13件，購買B商品的件數為17件；

（3）由題意可得，

m（16﹣a）+（30﹣m）（4+3a）≥1076，

化簡，得

（﹣4a+12）m+90a+120≥1076

∵10≤m≤13且m是整數，

∴當﹣4a+12＞0時，得a＜3，此時當m＝10時取得最小值，

則（﹣4a+12）×10+90a+120＝1076，解得，a＝16.72（舍去）；

當﹣4a+12＝0時，得a＝3，90a+120＝390＜1076，故此種情況不存在；

當﹣4a+12＜0時，得a＞3，此時當m＝13時，取得最小值，

則（﹣4a+12）×13+90a+120＝1076，得a＝21；

由上可得，m的值是13．