Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為R，弦AB，CD互相垂直，連接AD，BC.

(1)求證：AD2＋BC2＝4R2；

(2)若弦AD，BC的長是方程x2－6x＋5＝0的兩個根(AD>BC)，求⊙O的半徑及點O到AD的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑是，點O到AD的距離是．

【解析】

（1）如圖，作⊙O的直徑DE，連接AE、CE．利用勾股定理和直角三角形外接圓半徑證得結論；

（2）通過解方程求得AD、BC的值；然后將其代入（1）中的等式來求圓的半徑；過點O作OF⊥AD于F，由垂徑定理和勾股定理進行解答．

（1）如圖，作⊙O的直徑DE，連接AE、CE．

∵DE是直徑，∴EC⊥CD．

又∵AB⊥CD，∴AB∥EC，∴，∴AE=CB．

由DE是直徑得到：∠EAD=∠ECD=90°．

由勾股定理，得：AD2=DE2﹣AE2，∴AD2+BC2=DE2=4R2；

（2）由x2﹣6x+5=0，得：（x﹣1）（x﹣5）=0，解得：x1=1，x2=5．

∵AD，BC的長是方程x2﹣6x+5=0的兩個根，且AD>BC，∴AD=5，BC=1．

又由（1）知，AD2+BC2=4R2，∴25+1=4R2，∴R．

如圖，過點O作OF⊥AD于F，則FDAD．

在直角△OFD中，OD，FD．則由勾股定理知OF．

綜上所述：⊙O的半徑是，點O到AD的距離是．