Question

【題目】圖1是一段圓柱體的樹干的示意圖，已知樹干的半徑r=10cm，AD=45cm. （π值取3）

（1）若螳螂在點A處，蟬在點C處，圖1中畫出了螳螂捕蟬的兩條路線，即A→D→C和A→C，圖2是該圓柱體的側面展開圖，判斷哪條路的距離較短，并說明理由；

（2）若螳螂在點A處，蟬在點D處，螳螂想要捕到這只蟬，但又怕蟬發現，于是螳螂繞到

后方去捕捉它，如圖3所示，求螳螂爬行的最短距離；（提示： =75）

（3）圖4是該圓柱體的側面展開圖，蟬N在半徑為10cm的⊙O的圓上運動，⊙O與BC相切，點O到CD的距離為20cm，螳螂M在線段AD運動上，連接MN，MN即為螳螂捕蟬時螳螂爬行的距離，若要使MN與⊙O總是相切，求MN的長度范圍.

圖1 圖2 圖3 圖4

Answer 1

【答案】（1）A→C的距離較短；（2）螳螂爬行的最短距離為75cm；

（3）10cm≤MN≤5cm.

【解析】分析：（1）根據兩點之間線段最短，可判斷出A→C的距離較短；（2）由題意得出AD′的距離最短，再利用勾股定理即可求解；（3）連接MO，ON，當MO⊥AD時，MO最短，∴MN的長度最短，當點M與點A重合時，MO最長，從而得出MN的長度范圍.

本題解析：（1）由三角形三邊關系可知，AD+DC＞AC, A→C的距離較短（2）如圖，AD′即為螳螂爬行的最短距離，AA′=60cm，A′D′=45cm，∴AD′= =75cm

（3）連接MO，ON，易得MN2+NO2=MO2. 當MO⊥AD時，MO最短，∴MN的長度最短，此時MO=30-10=20cm，∴MN=10cm. 當點M與點A重合時，MO最長，∴MN的長度最長. 過點O作OF⊥AB于點F. 易得MF=20cm，OF=25cm，∴MO=5cm，，∴MN=5cm