Question

【題目】如圖，平面直角坐標中，把矩形OABC沿對角線OB所在的直線折疊，點A落在點D處，OD與BC交于點E．OA、OC的長是關于x的一元二次方程x2﹣9x+18＝0的兩個根（OA＞OC）．

（1）求A、C的坐標．

（2）直接寫出點E的坐標，并求出過點A、E的直線函數關系式．

（3）點F是x軸上一點，在坐標平面內是否存在點P，使以點O、B、P、F為頂點的四邊形為菱形？若存在請直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（6，0），C（0，3）；（2）E（，3），y＝﹣x+；（3）滿足條件的點P坐標為（6﹣3，3）或（6+3，3）或（，3）或（6，﹣3）．

【解析】

（1）解方程求出OA、OC的長即可解決問題；
（2）首先證明EO＝EB，設EO＝EB＝x，在Rt△ECO中，EO2＝OC2＋CE2，構建方程求出x，可得點E坐標，再利用待定系數法即可解決問題；
（3）分情形分別求解即可解決問題；

（1）由x2﹣9x＋18＝0可得x＝3或6，

∵OA、OC的長是關于x的一元二次方程x2﹣9x＋18＝0的兩個根（OA＞OC），

∴OA＝6，OC＝3，

∴A（6，0），C（0，3）．

（2）如圖1中，

∵OA∥BC，

∴∠EBC＝∠AOB，

根據翻折不變性可知：∠EOB＝∠AOB，

∴∠EOB＝∠EBO，

∴EO＝EB，設EO＝EB＝x，

在Rt△ECO中，∵EO2＝OC2＋CE2，

∴x2＝32＋（6﹣x）2，

解得x＝，

∴CE＝BC﹣EB＝6﹣＝，

∴E（，3），

設直線AE的解析式為y＝kx＋b，則有，

解得，

∴直線AE的函數解析式為y＝﹣x＋．

（3）如圖，OB＝＝3．

①當OB為菱形的邊時，OF1＝OB＝BP1＝3＝，故P1（6﹣3，3），

OF3＝P3F3＝BP3＝3，故P3（6＋3，3）．

②當OB為菱形的對角線時，∵直線OB的解析式為y＝x，

∴線段OB的垂直平分線的解析式為y＝﹣2x＋，

可得P2（，3），

③當OF4問問對角線時，可得P4（6，﹣3）

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（6﹣3，3）或（6＋3，3）或（，3）或（6，﹣3）．