Question

4．在△ABC中，AB=20cm，BC=16cm，點D為線段AB的中點，動點P以2cm/s的速度從B點出發在射線BC上運動，同時點Q以a cm/s（a＞0且a≠2）的速度從C點出發在線段CA上運動，設運動時間為x秒．
（1）若AB=AC，P在線段BC上，求當a為何值時，能夠使△BPD和△CQP全等？
（2）若∠B=60°，求出發幾秒后，△BDP為直角三角形？
（3）若∠C=70°，當∠CPQ的度數為多少時，△CPQ為等腰三角形？（請直接寫出答案，不必寫出過程）．

Answer 1

分析 （1）根據全等三角形應滿足的條件探求邊之間的關系，再根據路程=速度×時間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度；
（2）分兩種情況；①當∠BPD=90°時，由∠B=60°，得到∠BDP=30°，求得2BP=BD=10，求出x=2.5；②當∠BDP=90°時，根據三角形的內角和得到∠BPD=30°，求出x=10；即可得到當P出發2.5秒或10秒后，△BPD為直角三角形；
（3）分點P在邊BC上或點P在邊BC的延長線上，△CPQ為等腰三角形，根據等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=20cm，D是AB的中點，
∴BD=10cm，
∵點Q的速度與點P的速度不同，
∴BP≠CQ，
要使△BPD和△CQP全等，
則BP=CP=8cm   CQ=BD=10cm，
∴x=$\frac{8}{2}=4$秒，
∴a=$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$cm/s；

（2）①當∠BPD=90°時，
∵∠B=60°，∴∠BDP=30°，
∴2BP=BD=10，
∴BP=5，
 即2x=5，
∴x=2.5；
②當∠BDP=90°時，
∵∠B=60°，
∴∠BPD=30°，
∴BP=2BD=20，
即2x=20，
∴x=10；
∴當P出發2.5秒或10秒后，△BPD為直角三角形；

（3）點P在邊BC上，△CPQ為等腰三角形，
①當PQ=CQ，∵∠C=70°，
∴∠CPQ=∠C=70°，
②當PQ=PC，∵∠C=70°，
∴∠PQC=∠C=70°，
∴∠CPQ=180°-2×70°=40°，
③當PC=CQ，∵∠C=70°，
∴∠CPQ=∠CQP=$\frac{180°-70°}{2}$=55°，
點P在邊BC的延長線上，△CPQ為等腰三角形，
∵∠ACB=70°，∴∠ACP=110°，
∵PC=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=$\frac{180°-110°}{2}$=35°，
綜上所述：當△CPQ為等腰三角形時，∠CPQ的度數為35°，40°，55°，70°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質和判定，三角形的內角和，直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．