Question

【題目】如圖1，直線AB與x、y軸分別相交于點B、A，點C為x軸上一點，以AB、BC為邊作平行四邊形ABCD，連接BD，BD＝BC，將△AOB沿x軸從左向右以每秒一個單位的速度運動，當點O和點C重合時運動停止，設△AOB與△BCD重合部分的面積為S，運動時間為t秒，S與t之間的函數如圖（2）所示（其中0＜t≤2，2＜t≤m，m＜t＜n時函數解析式不同）．

（1）點B的坐標為　 　，點D的坐標為　 　；

（2）求S與t的函數解析式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）當0＜t≤2時，S＝，當2＜t≤5時，S＝，當5＜t＜7時，S＝t2﹣14t+49．

【解析】

（1）由圖象可得當t＝2時，點O與點B重合，當t＝m時，△AOB在△BDC內部，可求點B坐標，過點D作DH⊥BC，可證四邊形AOHD是矩形，可得AO＝DH，AD＝OH，由勾股定理可求BD的長，即可得點D坐標；

（2）分三種情況討論，由相似三角形的性質可求解．

解：（1）由圖象可得當t＝2時，點O與點B重合，

∴OB＝1×2＝2，

∴點B（2，0），

如圖1，過點D作DH⊥BC，

由圖象可得當t＝m時，△AOB在△BDC內部，

∴4＝×2×DH，

∴DH＝4，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC，且DH⊥BC，

∴∠ADH＝∠DHO＝90°，且∠AOB＝90°，

∴四邊形AOHD是矩形，

∴AO＝DH，AD＝OH，且AD＝BC＝BD，

∴OH＝BD，

∵DB2＝DH2+BH2，

∴DB2＝（DB﹣2）2+16，

∴DB＝5，

∴AD＝BC＝OH＝5，

∴點D（5，4），

故答案為：（2，0），（5，4）；

（2）∵OH＝BD＝BC＝5，OB＝2，

∴m＝，n＝＝7，

當0＜t≤2時，如圖2，

∵S△BCD＝BC×DH，

∴S△BCD＝10

∵A'B'∥CD，

∴△BB'E∽△BCD，

∴＝（）＝，

∴S＝10×＝t2，

當2＜t≤5，如圖3，

∵OO'＝t，

∴BO'＝t﹣2，FO'＝（t﹣2），

∵S＝S△BB'E﹣S△BO'F＝t2﹣×（t﹣2）2，

∴S＝﹣t2+t﹣；

當5＜t＜7時，如圖4，

∵OO'＝t，

∴O'C＝7﹣t，O'N＝2（7﹣t），

∵S＝×O'C×O'N＝×2（7﹣t）2，

∴S＝t2﹣14t+49．