Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），拋物線頂點為D，連接AC，BC，CD，BD，點P是x軸下方拋物線上的一個動點，作PM⊥x軸于點M，設點M的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）試探究是否存在這樣的點P，使得以P，M，B為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，PM交線段BC于點Q，過點P作PE∥AC交x軸于點E，交線段BC于點F，請用含m的代數式表示線段QF的長，并求出當m為何值時QF有最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，（1，﹣4）；（2）見解析;（3）見解析.

【解析】

（1）設拋物線解析式為：y＝a（x+1）（x﹣3）, 將C（0，-3），代入可求出解析式，根據拋物線的頂點坐標公式求出D點即可.

（2）由（1）可得BC＝3 ，CD＝，BD＝，△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，再分情況討論：①當△PMB∽△BCD時，得點P（2，﹣3）；②當△BMP∽△BCD時，點P的坐標為（﹣，﹣）；

（3）設QF為y，作FH⊥PM于點H，先證明△FHP∽△AOC，得出PQ＝＝2y，根據點B、C的坐標得到直線BC的表達式為：y＝x﹣3，設點P（m，m2﹣2m﹣3），點Q（m，m﹣3），求出PQ＝﹣m2+3m，即可解答.

解：（1）設拋物線解析式為：y＝a（x+1）（x﹣3），

將C（0，-3），代入可得：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3，

根據頂點坐標公式得出D的坐標為

∴點D的坐標為（1，﹣4）；

（2）由（1）知，點B、C、D的坐標分別為（3，0）、（0，﹣3）、（1，﹣4），

則BC＝3 ，CD＝，BD＝，

則△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，

①當△PMB∽△BCD時，

則∠MPB＝∠DBC，即：tan∠MPB＝tan∠DBC＝ ，

∵點M（m，0），則點P（m，m2﹣2m﹣3），

tan∠MPB＝，

解得：m＝2或3（舍去3），

故點P（2，﹣3）；

②當△BMP∽△BCD時，

同理可得：點P（﹣，﹣）；

故點P的坐標為：（2，﹣3）或（﹣，﹣）；

（3）設QF為y，作FH⊥PM于點H，

∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°

則FH＝QH＝y，

∵PE∥AC，PM∥OC，則∠PEM＝∠HFP＝∠CAO，

∴△FHP∽△AOC，

則PH＝3FH＝y，

∴PQ＝＝2y，

根據點B、C的坐標求出直線BC的表達式為：y＝x﹣3，

則點P（m，m2﹣2m﹣3），點Q（m，m﹣3），

所以PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，即：2y＝﹣m2+3m，

則y＝，．

∴當m＝時，QF有最大值．