Question

【題目】如圖,P是等邊三角形ABC內的一點,連接PA,PB,PC,以BP為邊作∠PBQ=60，且BQ=BP，連接CQ.

(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論；

(2)若PA=3，PB=4，PC=5，連接PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由。

Answer 1

【答案】(1)猜想：AP=CQ，證明見解析；（2）△PQC是直角三角形，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據條件用“SAS”可證明△ABP≌△CBQ，從而可得AP=CQ；（2）連接PQ．可證明△PBQ為等邊三角形，得PQ=PB=4，然后根據勾股定理的逆定理可證△PQC為直角三角形，且∠PQC=90°．

試題解析：解：（1）AP=CQ，理由如下：因為△ABC是等邊三角形，所以AB=BC，∠ABC=60°．因為∠PBQ=60°，所以∠ABP=∠CBQ=60°-∠PBC．在△ABP和△CBQ中，AB=CB，∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，所以△ABP≌△CBQ，（SAS），所以AP=CQ；（2）連接PQ．因為BP=BQ，∠PBQ=60°，所以△PBQ是等邊三角形，所以PQ=PB=4．又因為CQ=PA=3，PC=5，且，即，所以△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°．