Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經過點A，點B，與y軸負半軸交于點C，且OC＝OB，其中B點坐標為（3，0），對稱軸l為直線x＝，D為拋物線頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為拋物線上一點（不與C重合），橫坐標為m，連接AP，若∠PAB＝∠CAB，求m的值；

（3）在（2）的條件下，AP交l于點Q，連接AD，點N為線段QD上一動點（不與Q、D重合），且點N的縱坐標為n．過點N作直線與線段DA相交于點M，若對于每一個確定的n的值，有且只有一個△DMN與△DAQ相似，請直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=；（2）m=6;(3)

【解析】

（1）先確定出點A坐標，再用待定系數法即可得出結論；

（2）先確定出直線AP的解析式，進而用m表示點P的坐標，即可得出結論；

（3）當時，, 求出n的取值范圍為： ；當MN與AQ不平行時，，若對于每一個確定的n的值，有且只有一個△DMN與△DAQ相似，則可求出n的取值范圍．

解：（1）∵B（3，0），對稱軸為直線x=

∴A（-2，0），

∴拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-3）=

令x=0，則y=-6a，

∵B（3，0），

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴C（0，-3），

∴-6a=-3，

∴a=

∴拋物線的解析式為y=

（2）如圖，

∵∠PAB=∠CAB

∴作射線AP與y軸的交點記作點C'，

∵∠BAC=∠BAC'，OA=OA，∠AOC=∠AOC'=90°，

∴△AOC≌△AOC'（ASA），

∴OC'=OC=3，

∴C'（0，3），

∵A（-2，0），

∴直線AP的解析式為

∵點P（m，p）在直線AP上，

∴

∴

把代入y=得：

解得：

∵A（-2，0）

∴m=6

(3)當x=時，y=

∴D

當x=時,

∴Q

∴DQ=

當時，,

∴n的取值范圍為：

當MN與AQ不平行時，，

如圖：當A,M重合時：DM= DA=

∵

，

；

∴n的取值范圍為：時，

∵若對于每一個確定的n的值，有且只有一個△DMN與△DAQ相似，

∴n的取值范圍為：

故答案為：