Question

【題目】已知函數y=y1+y2，其中y1與x成反比例，y2與x﹣2成正比例，函數的自變量x的取值范圍是x，且當x=1或x=4時，y的值均為．

請對該函數及其圖象進行如下探究：

（1）解析式探究：根據給定的條件，可以確定出該函數的解析式為：　 　．

（2）函數圖象探究：

①根據解析式，補全下表：

②根據表中數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出函數圖象

（3）結合畫出的函數圖象，解決問題：

①當x，，8時，函數值分別為y1，y2，y3，則y1，y2，y3的大小關系為：　 　；（用“＜”或“=”表示）

②若直線y=k與該函數圖象有兩個交點，則k的取值范圍是　 　，此時，x的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①答案見解析；②答案見解析；（3）①y2＜y1＜y3；②1＜k，x＜2或2＜x≤8．

【解析】

（1）用待定系數法設，y2=k2（x-2），則+k2(x2)，將已知條件代入得關于k1、k2方程組，即可求得該函數解析式；
（2）選取適當數值填表，在平面直角坐標系中描點，用平滑曲線從左到右順次連接各點，畫出圖象；
（3）觀察圖象，得出結論．

（1）設，y2=k2（x﹣2），則，

由題意得：，

解得：，

∴該函數解析式為．

故答案為：，

（2）①根據解析式，

當x=2時，；

當x=8時，；

補全下表：

②根據上表在平面直角坐標系中描點，畫出圖象．

（3）①由（2）中圖象可得：（2，1）是圖象上最低點，在該點左側，y隨x增大而減��；在該點右側y隨x增大而增大，

∵當x，，8時，對應的函數值分別為y1，y2，y3，

∴，，，

∴y2＜y1＜y3．

故答案為：y2＜y1＜y3．

②觀察圖象得：x，圖象最低點為（2，1），

∴當直線y=k與該圖象有兩個交點時，1＜k，

此時x的范圍是：x＜2或2＜x≤8．

故答案為：1＜k，x＜2或2＜x≤8．