Question

【題目】如圖1，在等邊△ABC中，點P是邊BC上一動點（點P不與點B重合），且BP＜PC，點B關于直線AP的對稱點為D，連接CD、BD．

（1）依題意補全圖形；

（2）若∠BAP=α，則∠BCD=______（用含α的式子表示）；

（3）過點D作DE⊥DC，交直線AP于點E，連接EB、EC，判斷△ABE的面積與△CDE的面積之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）α；（3）S△DEC=2S△ABE，證明見解析．

【解析】

(1)由題意畫出圖形；

(2)由軸對稱的性質可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠PAD＝α，由等腰三角形的性質可求解；

(3)由“SAS”可證△BAE≌△DAE，可得S△BAE＝S△DAE，由等腰三角形的性質和平行線的性質可得S△DEC＝2S△ABE．

(1)如圖1所示；

(2)∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°．

∵點B關于直線AP的對稱點為D，

∴AP垂直平分BD，

∴AB=AD，且AP⊥BD，

∴∠BAP=∠PAD=α，

∴∠DAC=60°﹣2α．

∵AD=AC，

∴∠ACD60°+α，

∴∠BCD=α．

故答案為：α；

(3)S△DEC=2S△ABE，

理由如下：

如圖2，過點A作AH⊥CD，連接EH，

∵AC=AD，AH⊥CD，

∴DH=CH，

∴S△DEC=2S△DEH，

∵DE∥AH，

∴S△AED=S△DEH，

∵AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，

∴△BAE≌△DAE(SAS)，

∴S△BAE=S△DAE，

∴S△DEC=2S△ABE．