Question

【題目】在矩形中，，，點是邊上一點，交于點，點在射線上，且是和的比例中項．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，當點在線段之間，聯結，且與互相垂直，求的長；

（3）聯結，如果與以點、、為頂點所組成的三角形相似，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）的長分別為或3．

【解析】

（1）由比例中項知 ，據此可證 得，再證明 可得答案；

（2）先證 ，結合 ，得 ，從而知 ，據此可得 ，由（1）得，據此知 ，求得 ；

（3）分 和 兩種情況分別求解可得．

（1）證明：∵是和的比例中項

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

（2）解：∵與互相垂直

∴

∵

∴

∴

由（1）得

∴

∴

∴

∵，，

∴

∴

由（1）得

∴

∴

∴

∵

∴

∴

（3）∵，

又，由（1）得

∴

當與以點、、為頂點所組成的三角形相似時

1) ，如圖

∴

由（2）得：

2），如圖

過點作，垂足為點

由（1）得

∴

∴又

設，則，，

又

∴，解得

∴

綜上所述，的長分別為或3．