Question

閱讀下列材料，然后解答后面的問題．
我們知道方程2x+3y=12有無數組解，但在實際生活中我們往往只需要求出其正整數解．例：由2x+3y=12，得，（x、y為正整數）∴則有0＜x＜6．又為正整數，則為正整數．
由2與3互質，可知：x為3的倍數，從而x=3，代入．
∴2x+3y=12的正整數解為
問題：
（1）請你寫出方程2x+y=5的一組正整數解：　　；
（2）若為自然數，則滿足條件的x值有　　個；

A．2

B．3

C．4

D．5

（3）七年級某班為了獎勵學習進步的學生，購買了單價為3元的筆記本與單價為5元的鋼筆兩種獎品，共花費35元，問有幾種購買方案？

Answer 1

（1）或．
（2）C
（3）有兩種購買方案：即購買單價為3元的筆記本5本，單價為5元的鋼筆4支；
或購買單價為3元的筆記本10本，單價為5元的鋼筆1支．

試題分析：根據題意可知，求方程的正整數解，先把方程做適當的變形，再列舉正整數代入求解．
解：
（1）由2x+y=5，得y=5﹣2x（x、y為正整數）．
所以，即0＜x＜
∴當x=1時，y=3；
當x=2時，y=1．
即方程的正整數解是或．（只要寫出其中的一組即可）
（2）同樣，若為自然數，
則有：0＜x﹣2≤6，即2＜x≤8．
當x=3時，；
當x=4時，；
當x=5時，；
當x=8時，．
即滿足條件x的值有4個，
故選C．
（3）設購買單價為3元的筆記本m本，單價為5元的鋼筆n支．
則根據題意得：3m+5n=35，其中m、n均為自然數．
于是有：，
解得：，
所以0＜m＜．
由于n=7﹣m為正整數，則為正整數，可知m為5的倍數．
∴當m=5時，n=4；
當m=10時，n=1．
答：有兩種購買方案：即購買單價為3元的筆記本5本，單價為5元的鋼筆4支；
或購買單價為3元的筆記本10本，單價為5元的鋼筆1支．
點評：解題關鍵是要讀懂題目給出的已知條件，根據條件求解．注意筆記本和鋼筆是整體，所有不可能出現小數和負數，這也就說要求的是正整數．