Question

【題目】如圖1，OABC的邊OC在x軸的正半軸上，OC=5，反比例函數y= （x＞0）的圖象經過點A（1，4）．

（1）求反比例函數的關系式和點B的坐標；
（2）如圖2，過BC的中點D作DP∥x軸交反比例函數圖象于點P，連接AP、OP．
①求△AOP的面積；
②在OABC的邊上是否存在點M，使得△POM是以PO為斜邊的直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵反比例函數y= （x＞0）的圖象經過點A（1，4），

∴m=1×4=4，

∴反比例函數的關系式為y= （x＞0）．

∵四邊形OABC為平行四邊形，且點O（0，0），OC=5，點A（1，4），

∴點C（5，0），點B（6，4）

（2）

解：①延長DP交OA于點E，如圖3所示．

∵點D為線段BC的中點，點C（5，0）、B（6，4），

∴點D（ ，2）．

令y= 中y=2，則x=2，

∴點P（2，2），

∴PD= ﹣2= ，EP=ED﹣PD= ，

∴S△AOP= EP（yA﹣yO）= × ×（4﹣0）=3．

②假設存在．以OP為直徑作圓，交OC于點M1，交OA于點M2，連接PM1、PM2，如圖4所示．

∵點P（2，2），O（0，0），

∴點M1（2，0）；

∵點A（1，4），點O（0，0），

∴直線OA的關系式為y=4x．

設點M2（n，4n），

OM2= n，OP=2 ，PM2= ，

∵∠OM2P=90°，

∴ + =OP2，即17n2+17n2﹣20n+8=8，

解得：n= ，或n=0（舍去），

∴點M2（ ， ）．

故在OABC的邊上存在點M，使得△POM是以PO為斜邊的直角三角形，點M的坐標為（2，0）或（ ， ）．

【解析】（1）由點A的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出反比例函數關系式，再根據平行四邊形的性質結合點A、O、C的坐標即可求出點B的坐標；（2）①延長DP交OA于點E，由點D為線段BC的中點，可求出點D的坐標，再令反例函數關系式中y=2求出x值即可得出點P的坐標，由此即可得出PD、EP的長度，根據三角形的面積公式即可得出結論；②假設存在，以OP為直徑作圓，交OC于點M1 ， 交OA于點M2 ， 通過解直角三角形和勾股定理求出點M1、M2的坐標，此題得解．本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積公式、平行四邊形的性質以及解直角三角形，解題的關鍵是：（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征求出反比例函數解析式；（2）①求出EP長度；②以OP為直徑作圓，找出點M的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，通過作圓來確定點的數目與位置是關鍵．
【考點精析】利用平行四邊形的性質和解直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．