Question

【題目】如圖，點B是⊙O上一點，弦CD⊥OB于點E，過點C的切線交OB的延長線于點F，連接DF，

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，∠CFD＝60°，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2.

【解析】

（1）連接OD，如圖，利用切線的性質得∠OCD+∠DCF＝90°，再利用垂徑定理得到OF為CD的垂直平分線，則CF＝DF，所以∠CDF＝∠DCF，加上∠CDO＝∠OCD，則∠CDO+∠CDB＝90°，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）根據切線的性質得到∠CFO＝30°，求得∠COF＝60°，根據直角三角形的性質和垂徑定理即可得到結論．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵CF是⊙O的切線

∴∠OCF＝90°，

∴∠OCD+∠DCF＝90°

∵直徑AB⊥弦CD，

∴CE＝ED，即OF為CD的垂直平分線

∴CF＝DF，

∴∠CDF＝∠DCF，

∵OC＝OD，

∴∠CDO＝∠OCD

∴∠CDO+∠CDB＝∠OCD+∠DCF＝90°，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線；

（2）解：∵FC，FD是⊙O的切線，∠CFD＝60°，

∴∠CFO＝30°，

∴∠COF＝60°，

∵CD⊥OB，

∴∠OCE＝30°，

∵OC＝2，

∴CE＝OC＝，

∴CD＝2CE＝2．