Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=45°，AB=AD=4．E是直線AD上一點，連接BE，過點E作EF⊥BE交直線CD于點F．連接BF．
（1）若點E是線段AD上一點（與點A、D不重合），（如圖1所示）
①求證：BE=EF．
②設DE=x，△BEF的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出此函數的定義域．
（2）直線AD上是否存在一點E，使△BEF是△ABE面積的3倍？若存在，直接寫出DE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①證明：在AB上截取AG=AE，連接EG．通過ASA證明△BGE≌△EDF，根據全等三角形的性質即可得出BE=EF；
②先在Rt△ABE中運用勾股定理求出BE²=AE²+AB²=（4-x）²+4²，再根據三角形面積公式，可得y關于x的函數解析式；
（2）存在．分Ⅰ）當點E在線段AD上時；Ⅱ）當點E在線段AD延長線上時；Ⅲ）當點E在線段DA延長線上時；三種情況討論即可求解．

解答：（1）①證明：如圖1，在AB上截取AG=AE，連接EG，則∠AGE=∠AEG．
∵∠A=90°，∠A+∠AGE+∠AEG=180°，
∴∠AGE=45°．
∴∠BGE=135°．
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D=180°．
又∵∠C=45°，
∴∠D=135°，
∴∠BGE=∠D．
∵AB=AD，AG=AE，
∴BG=DE．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°．
又∵∠A+∠ABE+∠AEB=180°，
∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°，
∠A=90°，
∴∠ABE=∠DEF．
在△BGE與△EDF中，

∠BGE=∠D BG=DE ∠ABE=∠DEF

，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF；

②解：在Rt△ABE中，∵∠A=90°，AB=AD=4，DE=x，
∴BE²=AE²+AB²=（4-x）²+4²，
∵BE=EF，
∴y=

1

2

BE•EF=

1

2

BE²=

1

2

×[（4-x）²+4²]=

x2-8x+32

2

，
故y關于x的函數解析式為：y=

x2-8x+32

2

，
此函數的定義域為：0＜x＜4；

（2）解：直線AD上存在一點E，能夠使△BEF是△ABE面積的3倍．理由如下：
分三種情況：
Ⅰ）當點E在線段AD上時，如圖1．
∵S_△ABE=

1

2

AB•AE=

1

2

×4×（4-x）=8-2x，S_△BEF=

x2-8x+32

2

，
∴

x2-8x+32

2

=3×（8-2x），
整理，得x²+4x-16=0，
解得x=-2±2

5

（負值舍去），
則DE=-2+2

5

；
Ⅱ）當點E在線段AD延長線上時，如圖2，延長AB到G，使BG=DE，連接EG，則△AGE為等腰直角三角形．
∵AE∥BC，
∴∠EBC=∠AEB，
∴∠EBC+90°=∠AEB+90°，即∠GBE=∠DEF．
在△BGE與△EDF中，

∠G=∠EDF=45° BG=DE ∠GBE=∠DEF

，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF．
∵S_△ABE=

1

2

AB•AE=

1

2

×4×（4+x）=8+2x，S_△BEF=

1

2

BE²=

1

2

×[（4+x）²+4²]=

x2+8x+32

2

，
∴

x2+8x+32

2

=3×（8+2x），
整理，得x²-4x-16=0，
解得x=2±2

5

（負值舍去），
則DE=2+2

5

；
Ⅲ）當點E在線段DA延長線上時，如圖3，延長BA到G，使BG=DE，連接EG，則△AGE為等腰直角三角形．
在△BGE與△EDF中，

∠G=∠EDF=45° BG=DE ∠GBE=∠DEF

，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF．
∵S_△ABE=

1

2

AB•AE=

1

2

×4×（x-4）=2x-8，S_△BEF=

1

2

BE²=

1

2

×[（x-4）²+4²]=

x2-8x+32

2

，
∴

x2-8x+32

2

=3×（2x-8），
整理，得x²-20x+80=0，
解得x=10±2

5

，
則DE=10±2

5

；
綜上所述，直線AD上存在點E，使△BEF是△ABE面積的3倍，此時DE的長為2

5

-2或2

5

+2或10±2

5

．

點評：本題是四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，梯形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角形的面積等知識，綜合性較強，有一定的難度．運用數形結合、分類討論是解題的關鍵．