Question

4．如圖1，E是直線AB，CD內部一點，AB∥CD，連接EA，ED．
（1）探究猜想：①若∠A=25°，∠D=35°，則∠AED等于60度．
②若∠A=35°，∠D=45°，則∠AED等于80度．
③猜想圖1中∠AED，∠EAB，∠EDC的關系并證明你的結論．
（2）拓展應用：如圖2，射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點E，與邊CD交于點F，①②③④分別是被射線FE隔開的4個區域（不含邊界，其中區域③、④位于直線AB上方，P是位于以上四個區域上的點，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的關系（直接寫出結論，不要求證明）．

Answer 1

分析 （1）①過點E作EF∥AB，再由平行線的性質即可得出結論；
②③根據①的過程可得出結論；
（2）根據題意畫出圖形，再根據平行線的性質及三角形內角和定理即可得出結論．

解答 解：（1）①過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=25°，∠D=35°，
∴∠1=∠A=25°，∠2=∠D=35°，
∴∠AED=∠1+∠2=60°；
②過點E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=35°，∠D=45°，
∴∠1=∠A=35°，∠2=∠D=45°，
∴∠AED=∠1+∠2=80°；
③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．
理由：過點E作EF∥CD，
∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩直線平行），
∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（兩直線平行，內錯角相等），
∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代換）．
（2）如圖2，當點P在①區域時，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）-180°．
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，
∴∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE）=180°-（∠PEB+∠PFC）+180°=360°-（∠PEB+∠PFC）；
當點P在區域②時，如圖3所示，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC．
故答案為：（1）①60，②80．

點評 本題考查的是平行線的性質，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．