Question

19．如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CE=CD，DM⊥BC，垂足為M，
（1）求證：M是BE的中點．
（2）若等邊三角形的邊長為4，請求出DE的長．

Answer 1

分析 （1）要證M是BE的中點，根據題意可知，證明△BDE△為等腰三角形，利用等腰三角形的高和中線向重合即可得證；
（2）先根據等邊三角形的性質求出BD的長，再判斷出△BDE是等腰三角形即可．

解答 解：（1）證明：連接BD，
∵在等邊△ABC，且D是AC的中點，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE為等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中點；
（2）∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，BD是AC邊上的中線，
∴∠ACB=60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴BD=BC•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線和高三線合一的性質以及等邊三角形每個內角為60°的知識．輔助線的作出是正確解答本題的關鍵