Question

10．在⊙O中，弦AB和弦AC構成的∠BAC=45°，M、N分別是AB和AC的中點，則∠MON的度數為45°或135°．

Answer 1

分析 連接OM，ON，利用垂徑定理得OM⊥AB，ON⊥AC，再分類討論，當AB，AC在圓心異側時（如圖1），利用四邊形內角和得結果；
當AB，AC在圓心同側時（如圖2），利用相似三角形的性質得結果．

解答 解：連接OM，ON，
∵M、N分別是AB和AC的中點，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
OM⊥AB，ON⊥AC，
當AB，AC在圓心異側時（如圖1），
∵∠BAC=45°，
在四邊形AMON中，
∴∠MON=360°-90°-90°-45°=135°；
當AB，AC在圓心同側時（如圖2），
∵∠ADM=∠ODN，∠AMD=∠OND，
∴△ADM∽△ODN，
∴∠MON=∠BAC=45°．
故答案為：135°或45°．

點評 本題主要考查了垂徑定理、四邊形內角和定理；熟練掌握垂徑定理，進行分類討論是解決問題的關鍵．